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# 不等間隔格子の二次精度差分

本ドキュメントでは, NumRu::Derivative で定義される threepoints_O2nd_deriv で用いる 不等間隔格子の二次精度差分についてまとめる. この差分は極端に不等間隔ではないデータに 対して二次精度の差分を与えるものである. 今, 関数を, 数列 上に離散化する.

|  | (1.1)
|  | (1.2)
|  | (1.3)

ここで, とはほぼ同じオーダーの値である場合を想定して議論を進める. ここで, を各格子点近傍にてテイラー展開する.

|  | (1.4)
|  | (1.5)

ここで, はそれぞれにおけるのに関する一階および二階の微分項, はのオーダーの値を表す. 両式からの項を消去するために, (1.4) - (1.5) を計算すると,

|  | (1.6)

となる. 上式を変形して

|  | (1.7)
|  | (1.8)

これより, 2次精度差分の公式は

|  | (1.9)

と書くことができる.