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AlgebraicExtensionField

(代数拡大体)

代数拡大体を表現するクラス

ファイル名:

 ・ algebraic-Extension-feild.rb

スーパークラス:

 ・ ResidueClassRing

インクルードしているモジュール:

なし。

関連するメソッド:

Algebra.AlgebraicExtensionField(field, obj){|x| ... }
    ::create と同じ。
   

クラスメソッド:

::create(k, obj){|x| p(x) }
    体 k を、obj で表される変数 x の多項式 p(x) で拡大した環 k[x]/(p(x))を返し
    ます。この環には、クラスメソッド ::var、::def_polys、 ::env_ring が定義され
    ます。
   
    例: 有理数を方程式 x**2 + x + 1 == 0 で拡大した体 F を作る。
    require "rational"
    require "algebraic-extension-field"
    F = Algebra::AlgebraicExtensionField.create(Rational, "x") {|x| x**2 + x + 1}
    x = F.var
    p( (x-1)** 3 / (x**2 - 1) ) #=> -3x - 3
   
::var
    ::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、この剰余環における x で代表される
    剰余類を返します。
   
::modulus
    ::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、k[x] の要素 p(x) を返します。
   
::def_polys
    ::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、長さ n の各 ::modulus の配列を返
    します。ここで、自身は、基礎体 k0 上高さ n の再帰的な
    AlgebraicExtensionField であるとします。
   
    例: 基礎体を有理数とし、2, 3, 5 の立方根による拡大体を作る
    require "algebra"
    # K0 == Rational
    K1 = AlgebraicExtensionField(Rational, "x1") { |x|
      x ** 3 - 2
    }
    K2 = AlgebraicExtensionField(K1, "x2") { |y|
      y ** 3 - 3
    }
    K3 = AlgebraicExtensionField(K2, "x3") { |z|
      z ** 3 - 5
    }
    
    p K3.def_polys #=> [x1^3 - 2, x2^3 - 3, x3^3 - 5]
    
    x1, x2, x3 = K1.var, K2.var, K3.var
    f = x1**2 + 2*x2**2 + 3*x3**2
    f0 = f.abs_lift
    
    p f0.type     #=> (Polynomial/(Polynomial/(Polynomial/Rational)))
    p f0.type == K3.env_ring #=> true
    
    p f #=> 3x3^2 + 2x2^2 + x1^2
    p f0.evaluate(x3.abs_lift, x2.abs_lift, x1.abs_lift)
        #=> x3^2 + 2x2^2 + 3x3^2
   
::env_ring
    ::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、多変数多項式環 k0[x1, x2,.., xn]
    を返します。ここで、自身は、基礎体 k0 上高さ n の再帰的な
    AlgebraicExtensionField であるとします。
   
::ground
    剰余環のもとになる多項式環 k[x] を返します。
   

メソッド

abs_lift
    ::env_ring すなわち基礎体 k0 上の多変数多項式環 k0[x1, x2,.., xn] へのリフ
    トを返します。
   

